Giả thuyết Poincaré

Trong không gian 2 chiều, mặt cầu là mặt phẳng đóng và đơn liên duy nhất. Giả thuyết Poincaré nói rằng điều này cũng đúng trong không gian 3 chiều. Đây là bài toán trọng điểm để giải quyết vấn đề tổng quát hơn trong việc phân loại mọi đa tạp 3 chiều. Giả thuyết được phát biểu chặt chẽ hơn như sau:

Mọi đa tạp 3 chiều đóng đơn liên thì đồng phôi với mặt cầu 3 chiều.

Chứng minh cho giả thuyết này được đưa ra bởi Grigori Perelman. Lời giải của ông dựa trên lý thuyết dòng Ricci của Richard Hamilton. Tuy nhiên, lời giải này chủ yếu nhờ vào sự cải tiến độc đáo của Perelman, đồng thời tận dụng nhiều kết quả về không gian metric của Cheeger, Gromov và của chính ông. Ngoài ra, Perelman còn chứng minh luôn cả giả thuyết hình học hoá của William Thurston (một trường hợp đặc biệt của giả thuyết Poincaré), đây là mảnh ghép vô cùng quan trọng để chứng minh giả thuyết Poincaré. Lời giải được công nhận vào tháng 8 năm 2006 và Perelman chính thức được trao giải bài toán thiên niên kỷ vào ngày 18 tháng 3 năm 2010. Nhưng ông đã từ chối nhận thưởng và mọi số tiền liên quan đến giải thưởng đó, điều mà ông cũng đã từng làm với giải Fields. Theo The Interfax đưa tin, Perelman cho rằng giải thưởng không hề công bằng, vì những đóng góp của ông cũng chẳng hơn gì so với đóng góp của Hamilton.